Ingeniería Térmica · tema 08

Transmisión de calor por conducción

La ley de Fourier, la analogía termoeléctrica que convierte un muro en un circuito, y por qué casi siempre manda una sola resistencia.

Aquí empieza el segundo bloque de la asignatura, y cambia la pregunta. Los siete temas anteriores contestaban cuánta energía hay y cuánta vale. Los tres que quedan contestan a qué velocidad se mueve, y por qué camino.

Hay tres mecanismos, y este tema es el primero:

Conducción: el calor se propaga por el material sin que la materia se mueva. Es el de este tema.
Convección: el calor lo transporta un fluido que se mueve. Tema 9.
Radiación: el calor viaja como onda electromagnética, sin necesitar medio. Tema 10.

La ley de Fourier

El campo de temperaturas de un cuerpo es $\theta = \theta(x, y, z, t)$ , y su gradiente apunta hacia donde la temperatura crece más deprisa. La ley de Fourier dice que el calor va exactamente al revés:

\vec{q} = -k\,\nabla\theta \qquad \left[\frac{\text{W}}{\text{m}^{2}}\right]

El signo menos es la segunda ley disfrazada: el calor baja por el gradiente, de caliente a frío, nunca al contrario. Y $k$ es la conductividad térmica del material, en W/(m·K), que en general depende de la temperatura.

Los órdenes de magnitud de $k$ conviene tenerlos, porque explican la mitad de los resultados: un metal ronda las decenas o centenas —el acero del ejemplo de abajo, 52—, un material de construcción anda por la unidad, y un aislante por las centésimas. Cuatro órdenes de magnitud entre un metal y un aislante, y eso es lo que hace que en un muro real la chapa metálica no pinte nada.

Con generación interna

La ecuación general de la conducción incluye además un término de calor generado dentro del propio material, $\dot e_{gen}$ en W/m³. No es una rareza de laboratorio; las transparencias del tema dan cinco casos, y valen la pena porque enseñan a reconocerlo:

el muro de hormigón de un reactor nuclear, que absorbe radiación y la convierte en calor dentro de sí mismo;
el suelo radiante, donde la tubería calefactora se modela como fuente distribuida dentro del forjado;
la refrigeración regenerativa de una tobera de cohete, con el combustible circulando por microcanales de la pared;
la respiración de frutas y verduras, cuyo calor metabólico es despreciable por pieza y considerable en una cámara de maduración de muchas toneladas;
los componentes de una placa electrónica.

La analogía termoeléctrica

Este es el instrumento del tema, y el que convierte problemas que parecen difíciles en circuitos de bachillerato.

Para una pared plana sin generación, integrando Fourier con temperatura fija en las dos caras sale un perfil lineal, $\theta(x) = \theta_1 + (\theta_2-\theta_1)x/L$ , y un flujo

\dot q = \frac{k}{L}\,(\theta_1 - \theta_2)

Puesto del revés, eso es la ley de Ohm:

eléctrico	térmico
$I = \Delta V / R$	$\dot Q = \Delta\theta / R$
intensidad	flujo de calor
diferencia de potencial	diferencia de temperatura
resistencia eléctrica	resistencia térmica

Y las resistencias térmicas de las tres geometrías del tema:

\text{plana:}\quad R = \frac{L}{k\,A} \qquad \text{cilíndrica:}\quad R = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L} \qquad \text{esférica:}\quad R = \frac{r_2 - r_1}{4\pi k\,r_1 r_2}

A partir de aquí, un muro de tres capas es tres resistencias en serie, y se suman. Un tubo con aislamiento, lo mismo. Y donde el calor entra o sale por convección, se añade una resistencia más:

R_{conv} = \frac{1}{h\,A}

que es del tema 9 pero se usa ya, porque casi ningún problema real acaba en una superficie a temperatura conocida: acaba en un fluido.

Sumar resistencias cilíndricas usando el área equivocada

En una pared plana, todas las capas tienen la misma área y $A$ se puede sacar factor común: por eso se trabaja con resistencias por unidad de área, $R = L/k$ , en m²·K/W.

En un cilindro no se puede, porque el área crece con el radio. Ahí la resistencia es $\ln(r_2/r_1)/(2\pi k L)$ , en K/W a secas, y el área ya está dentro del logaritmo. Mezclar las dos convenciones en el mismo circuito da números sin sentido, y es fácil hacerlo cuando el problema tiene una capa cilíndrica y una convección.

La regla que lo evita: decidir al principio si el circuito va por unidad de longitud o entero, escribirlo en el folio, y que todas las resistencias lleven la misma unidad.

El ejemplo del examen, y la pregunta que de verdad importa

El ejercicio 3 de enero de 2026 es el modelo del tema. Por una tubería de 0,5 m de diámetro interior circulan 0,3 kg/s de agua que entra a 250 °C y sale a 150 °C. La tubería tiene dos capas —3 cm de acero, $k = 52$ , y 6 cm de aislante, $k = 0{,}75$ —, el aire exterior está en reposo a 10 °C y la superficie exterior a 110,7 °C.

El circuito tiene cuatro resistencias en serie: convección interior, conducción por el acero, conducción por el aislante y convección exterior. Y la segunda pregunta del examen es la buena:

¿Cuál es la resistencia térmica dominante, y qué porcentaje representa cada una?

resistencia	valor (K/W)	% del total
convección interior	$2{,}24\cdot 10^{-4}$	15,9
conducción, acero	$3{,}65\cdot 10^{-6}$	0,26
conducción, aislante	$4{,}34\cdot 10^{-4}$	30,8
convección exterior	$7{,}46\cdot 10^{-4}$	53,0

Las cuatro resistencias en serie y a escala: el acero es la barra que casi no se ve. Aislante y convección exterior se llevan el 84 % entre los dos, así que engordar el tubo de acero no cambia nada y es donde más gente empieza.

Y ahí están las dos lecciones que un ingeniero se lleva de este tema:

La chapa de acero no existe. Aporta el 0,26 % de la resistencia total. Podrías quitarla del cálculo entero y el resultado cambiaría en la tercera cifra. Es la consecuencia directa de que $k$ valga 52 frente a 0,75: el acero opone unas sesenta veces menos resistencia por centímetro que el aislante, y además hay la mitad de centímetros.

Manda la convección exterior, con más de la mitad. Es decir: si quieres reducir las pérdidas de esa tubería, poner más aislante es la segunda mejor idea; la primera es hacer algo con el aire exterior. Identificar la resistencia dominante antes de gastar dinero es literalmente el oficio.

Los redondeos de la resolución oficial, en este ejercicio

Rehacer este ejercicio entero da los mismos números que el examen salvo en la tercera o cuarta cifra —94,92 m de longitud frente a 94,95, por ejemplo—, y eso es redondeo intermedio normal.

Pero hay una errata de verdad, y conviene saberla para no volverse loco: en la línea donde suma las cuatro resistencias, la resolución escribe $9{,}63703\cdot 10^{-6}$ para la del acero, cuando dos renglones antes la ha calculado como $3{,}65481\cdot 10^{-6}$ y en la tabla de porcentajes vuelve a usar la buena.

Lo delata la propia suma: con $3{,}65\cdot 10^{-6}$ el total sale $1{,}40737\cdot 10^{-3}$ , que es el que el examen imprime; con $9{,}64\cdot 10^{-6}$ saldría $1{,}41336\cdot 10^{-3}$ , que no lo es. El número bueno es el pequeño.

La otra forma de plantearlo: por dónde entrar

Un detalle de método que la propia resolución oficial explica, y que vale para todo el bloque.

El ejercicio se podría atacar desde fuera, calculando el coeficiente de convección natural del aire alrededor del tubo. Para eso haría falta la correlación de Churchill y Chu, que es esta:

Nu = \left\{0{,}6 + \frac{0{,}387\,Ra^{1/6}} {\left[1+(0{,}559/Pr)^{9/16}\right]^{8/27}}\right\}^{2}

La resolución la escribe y a continuación dice, con todas las letras, que no es aconsejable para un examen y que conviene otra vía: resolver de dentro hacia afuera, porque ahí todos los datos están.

Es un consejo de examen y merece la pena tomárselo en serio. El criterio general: cuando un problema de transmisión de calor se puede recorrer en dos direcciones, se empieza por el extremo donde el enunciado ha puesto más datos, y las correlaciones feas se dejan para cuando no hay alternativa.

De hecho, el propio enunciado te está ayudando sin decirlo: darte la temperatura de la superficie exterior, 110,7 °C, es exactamente lo que permite calcular la resistencia de convección exterior por diferencia, sin ninguna correlación:

R_{conv-ext} = \frac{\theta_3 - \theta_{f,ext}}{\dot Q} = \frac{110{,}7 - 10}{135.000} = 7{,}459\cdot 10^{-4}\ \frac{\text{K}}{\text{W}}

Cuando un enunciado te da una temperatura de superficie que no parece hacer falta, casi siempre es para ahorrarte una correlación.

Practica lo que acabas de leer

El muro de tres capas, y la que manda

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre el reparto de resistencias en serie del Tema 8 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

El muro de tres capas, y la que manda

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un muro de fachada tiene tres capas, de dentro hacia fuera:

capa	espesor	conductividad
enfoscado	$2\ \text{cm}$	$1{,}4\ \text{W/(m·K)}$
aislante	$6\ \text{cm}$	$0{,}04\ \text{W/(m·K)}$
ladrillo	$1{,}5\ \text{cm}$	$0{,}5\ \text{W/(m·K)}$

Las temperaturas superficiales son $20\ \text{°C}$ dentro y $-5\ \text{°C}$ fuera.

a) La resistencia térmica total, por unidad de área.

b) Qué porcentaje aporta cada capa.

c) El flujo de calor por metro cuadrado.

La resistencia total, el reparto por capas y la densidad de flujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres capas están una detrás de otra. ¿Cómo se combinan sus resistencias?
02
La resistencia total
COMP2
¿Cuánto vale la resistencia térmica del muro por metro cuadrado?
Tu respuesta al paso 2una resistencia térmica por unidad de área, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El porcentaje del aislante
COMP2
¿Qué porcentaje de la resistencia total aporta la capa de aislante?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flujo de calor
COMP2
¿Cuánto calor pierde el muro por metro cuadrado?
Tu respuesta al paso 4una densidad de flujo de calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión de ingeniería. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres capas van en serie, así que sus resistencias se suman y el reparto va por $L/k$ , no por espesor.
2. El aislante aporta el 97 % con seis centímetros, porque su conductividad es treinta y cinco veces menor que la del enfoscado.
3. Luego, para reducir las pérdidas, lo único que rinde es tocar el aislante: doblar cualquiera de las otras dos capas no cambiaría nada apreciable.

Resolución completa

a) La resistencia total. Tres capas en serie, cada una con $L/k$ :

R = \frac{0{,}02}{1{,}4} + \frac{0{,}06}{0{,}04} + \frac{0{,}015}{0{,}5} = 0{,}0143 + 1{,}500 + 0{,}030 = 1{,}544\ \frac{\text{m}^{2}\text{K}}{\text{W}}

b) El reparto.

capa	R	%
enfoscado	0,0143	0,93
aislante	1,500	97,1
ladrillo	0,030	1,94

c) El flujo.

\dot q = \frac{25}{1{,}544} = 16{,}19\ \frac{\text{W}}{\text{m}^{2}}

Lo que hay que llevarse. El reparto no va por espesor sino por $L/k$ , y con cuatro órdenes de magnitud entre un aislante y un metal eso significa que casi siempre hay una capa que decide y las demás sobran del cálculo. Encontrarla antes de proponer nada es todo el oficio del tema; suponerla, el error.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaPrimer ejercicio de «Conducción · 2 ejercicios», hoja de la asignatura · Ingeniería Térmica, EIG-GIE Donostia (UPV/EHU). La hoja da el enunciado y no la respuesta, así que los tres resultados son nuestros y están comprobados por dos caminos.

La pared de dos materiales, y el aire que solo está en un lado

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una pared se compone de dos materiales. El espesor del material de la izquierda ( $k_A = 0{,}6\ \text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ) es $40\ \text{cm}$ , y el del material de la derecha ( $k_B = 2\ \text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ) es $30\ \text{cm}$ .

La superficie exterior del material de la izquierda se encuentra en contacto con aire a $6\ ^\circ\text{C}$ y coeficiente de convección igual a $25\ \text{W/(m}^{2}\cdot\text{K)}$ . La superficie exterior del material de la derecha se encuentra a $27\ ^\circ\text{C}$ . Calcúlese:

a) La temperatura en la superficie de contacto de los dos materiales.

b) La velocidad de transferencia de calor por unidad de superficie en la pared.

c) El espesor mínimo del material de la izquierda para que la velocidad de transferencia de calor sea inferior que $15\ \text{W/m}^{2}$ .

La temperatura de contacto, el flujo de calor por unidad de superficie y el espesor mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El circuito tiene tres resistencias en serie por cada metro cuadrado. ¿Cuáles son?
02
El flujo de calor
COMP2
¿Cuánto calor atraviesa cada metro cuadrado de pared?
Tu respuesta al paso 2un flujo por unidad de superficie, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La temperatura de contacto
COMP2
¿A qué temperatura está la superficie donde se tocan los dos materiales?
Tu respuesta al paso 3una temperatura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El espesor que haría falta
COMP2
¿Qué espesor mínimo tendría que tener el material A para que el flujo no pase de $15\ \text{W/m}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 4un espesor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura del resultado. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El material A aporta 0,6667 de los 0,8567 de resistencia total, es decir el 78 %.
2. Por eso, para bajar el flujo de 24,5 a 15 hay que subir su espesor de 40 a 72,6 cm: casi el doble.

Resolución completa

El circuito, que es medio ejercicio. Por cada metro cuadrado hay tres resistencias en serie, y conviene contarlas antes de calcular nada:

R_{conv} = \frac{1}{h} = 0{,}04 \qquad R_A = \frac{e_A}{k_A} = 0{,}6667 \qquad R_B = \frac{e_B}{k_B} = 0{,}15

Tres, no cuatro: el aire solo está a un lado. A la derecha el enunciado da la temperatura de la superficie, así que ahí el circuito se termina. Es el fallo más fácil de este problema, porque el caso de clase tiene aire a los dos lados y uno copia el esquema.

b) El flujo. Con $R_{total} = 0{,}8567$ y un salto de 21 K:

q = \frac{21}{0{,}8567} = 24{,}51\ \text{W/m}^{2}

a) La temperatura de contacto. La caída en cada tramo es proporcional a su resistencia, así que basta bajar desde los 27 °C atravesando B:

T = 27 - 24{,}51 \cdot 0{,}15 = 23{,}32\ ^\circ\text{C}

Y se comprueba por el otro camino, que es lo que conviene hacer siempre con un circuito: subiendo desde el aire, $6 + 24{,}51 \cdot 0{,}04 + 24{,}51 \cdot 0{,}6667 = 23{,}32\ ^\circ\text{C}$ . Si los dos no coinciden, hay una resistencia mal puesta.

c) El espesor. Imponiendo $q = 15$ :

L_A = k_A\left(\frac{21}{15} - R_{conv} - R_B\right) = 0{,}6 \cdot 1{,}21 = 0{,}726\ \text{m}

Y lo que el problema enseña de verdad. El material A se lleva el 78 % de la resistencia, y por eso es el único sitio donde tocar: para bajar el flujo un 39 % hay que subir su espesor de 40 a 72,6 cm, casi el doble. En cambio la convección aporta un 5 %, así que mejorarla no sirve de nada — aunque la hicieras infinita, el flujo solo llegaría a 25,7. En una serie de resistencias solo importa la que manda, y averiguar cuál es cuesta una división.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.1 de la colección de problemas del Tema 8 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El material lo resuelve dos veces —integrando y por analogía termoeléctrica— y publica el resultado, 5,25 cm; el desarrollo está contrastado contra él.

El aislante que evita la condensación

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una cámara frigorífica la temperatura superficial interior es de $-20\ \text{°C}$ . Sobre la pared metálica se quiere colocar un aislamiento de plástico rígido de conductividad térmica $k = 0{,}03\ \text{W/(m·K)}$ . Una de las paredes, de $100\ \text{m}^{2}$ de sección, tiene una ganancia de calor por transmisión de $2\ \text{kW}$ .

Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de $15\ \text{°C}$ , calcúlese el espesor mínimo de aislamiento para evitar la condensación superficial en el exterior.

El espesor mínimo del aislamiento, en centímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da una temperatura de rocío, no una temperatura de aire. ¿Qué condición impone eso sobre la cara exterior del aislamiento?
02
La resistencia térmica necesaria
COMP2
¿Qué resistencia térmica, por unidad de área, tiene que ofrecer el aislamiento?
Tu respuesta al paso 2una resistencia térmica por unidad de área, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El espesor
COMP2
Con $k = 0{,}03\ \text{W/(m·K)}$ , ¿qué espesor hace falta?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué se puede despreciar la pared metálica. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La resistencia de una capa plana es $L/k$ , así que crece con el espesor y baja con la conductividad.
2. La conductividad de un metal es del orden de decenas de W/(m·K), y la del plástico rígido, 0,03: más de mil veces menor.
3. Luego la resistencia de la chapa es despreciable frente a la del aislante, y el circuito se reduce a una sola resistencia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Transmisión de calor por conducción

La ley de Fourier

Con generación interna

La analogía termoeléctrica

El ejemplo del examen, y la pregunta que de verdad importa

La otra forma de plantearlo: por dónde entrar

Reconocer el camino

La resistencia total

El porcentaje del aislante

El flujo de calor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El flujo de calor

La temperatura de contacto

El espesor que haría falta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La resistencia térmica necesaria

El espesor

Justificar el argumento